7.2 瑕积分

定义

瑕积分

如果 $f (x)$ 在 $[a, b)$ 内有定义, 在 $x = b$ 的任何左邻域内无界; 且 $\forall ε \in (0, b - a)$ , 有 $f (x) \in R [a, b - ε]$ , 则 $b$ 是 $f (x)$ 的瑕点. (同理可以对 $a$ 定义)
此时称 $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 为瑕积分.
令 $F (ε) = \int_{a}^{b - ε} f (x) d x$ , $0 < ε \leq b - a$ . 如果 $lim_{ε \to 0^{+}} F (ε)$ 存在, 则瑕积分收敛; 否则发散.

例子

$I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x^{2}} d x$ .
注意到 $I = \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}} \sin \frac{1}{x^{2}} \cdot x d x = \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x,$ 这里 $g (x)$ 单增, $lim_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ ; 且 $F (η) = \int_{η}^{1} \frac{1}{x^{3}} \sin \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{1}{2} {\sin \frac{1}{x^{2}} |}_{η}^{1} \leq 1,$ 故根据 Dirichlet 判敛法, 收敛.
此外, 因为 $\frac{1}{x^{2}} | \sin \frac{1}{x^{2}} | \geq \frac{1}{x^{2}} \sin^{2} \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{2 x^{2}} - \frac{1}{2 x^{2}} \cos \frac{2}{x^{2}},$ 而 $\frac{1}{2 x^{2}}$ 的积分发散, $\frac{1}{2 x^{2}} \cos \frac{2}{x^{2}}$ 的收敛, 故 $I$ 只是条件收敛.^[1]
$I = \int_{0}^{1} \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x^{p}} d x$ , $0 < p \leq 2$ .
当 $0 < p < 2$ , $| \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x^{p}} | \leq \frac{\sin x}{x^{p}} \leq \frac{x}{x^{p}} = \frac{1}{x^{p - 1}},$ 所以绝对收敛.
当 $p = 2$ , 令 $f (x) = \frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}$ , $g (x) = \sin x$ , 则 $g (x)$ 单增且 $lim_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ , 且 $| F (η) | = | - {| \sin \frac{1}{x} |}_{η}^{1} | \leq 2.$ 因此 $I$ 收敛. 但是 $| \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x^{2}} | \geq \frac{\sin x}{x^{2}} \cdot \cos^{2} \frac{1}{x} = \frac{\sin x}{2 x^{2}} - \frac{\sin x}{2 x^{2}} \cos \frac{2}{x},$ 所以条件收敛.
$I = \int_{0}^{\infty} e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} d x$ , $p > 0$ .
拆分为 $I = \int_{0}^{1} e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} d x + \int_{1}^{\infty} e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} d x = I_{1} + I_{2} .$
- 对 $I_{1}$ , $e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} \sim \frac{2 x}{x^{p}} = \frac{2}{x^{p - 1}}$ , $0$ 是瑕点, 因此 $p < 2$ 时收敛, $p \geq 2$ 时发散.
- 对 $I_{2}$ , $p > 1$ 时 $| e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} | \leq \frac{e}{x^{p}},$ 所以绝对收敛; $0 < p \leq 1$ 时 $F (A) = \int_{1}^{A} e^{\sin x} \sin 2 x d x = 2 \int_{1}^{A} e^{\sin x} \sin x d \sin x$ 有界, 由 Dirichlet 判敛法得收敛, 但 $| e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} | \geq \frac{e^{\sin x} \sin^{2} x}{x^{2 p}} = \frac{e^{\sin x}}{2 x^{2 p}} - \frac{e^{\sin x} \cos 2 x}{2 x^{2 p}},$ 前者发散后者收敛, 因此条件收敛.^[2]
综上, $1 < p < 2$ 时绝对收敛, $p \geq 2$ 或 $p \leq 0$ 时发散, $0 < p \leq 1$ 时条件收敛.

Dirichlet 判敛法

若 $g (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调, $lim_{x \to 0} g (x) = 0$ ; $F (η) = \int_{a}^{η} f (x) d x$ 在 $[a, b)$ 上有界, 则 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 收敛.

Abel 判敛法

若 $g (x)$ 在 $[a, b)$ 上单调有界, $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 收敛, 则 $\int_{a}^{b} f (x) g (x) d x$ 收敛.

还可以用代换 $y = \frac{1}{x}$ : $I = \int_{+ \infty}^{1} y^{2} \sin y^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) d y = \int_{1}^{+ \infty} \sin y^{2} d y$ 来说明绝对值积分发散. ↩︎
$p \leq 0$ 时, $\forall A$ , $A^{'} = 2 π A > A$ , $A^{″} = 2 n π + \frac{π}{4} > A$ , 则 $| \int_{A^{'}}^{A^{″}} e^{\sin x} \frac{\sin 2 x}{x^{p}} d x | \geq e^{- 1} \int_{A^{'}}^{A^{″}} \sin 2 x d x$ #？则 $I_{2}$ 发散. ↩︎